EXPONENTIEL

EXPONENTIEL, adj. (Géomét. transcend.) Quantité exponentielle, est une quantité élevée à une puissance dont l’exposant est indéterminé & variable. Voyez Exposant.

Il y a des quantités exponentielles de plusieurs degrés ou de plusieurs ordres. Quand l’exposant est une quantité simple & indéterminée, on l’appelle une quantité exponentielle du premier degré.

Quand l’exposant est lui-même une exponentielle du premier degré, alors la quantité est une exponentielle du second degré.

Ainsi $z^{y}$ est une exponentielle du premier degré, parce que la quantité y est une quantité simple : mais $z^{x^{y}}$ est une quantité exponentielle du second degré, parce que $x^{y}$ est une exponentielle du premier degré. De même $z^{x^{y^{y}}}$ est une exponentielle du troisieme degré, parce que l’exposant $x^{y^{y}}$ en est une du second.

Il faut remarquer de plus que dans les quantités exponentielles, la quantité élevée à l’exposant variable peut être constante comme dans $a^{y}$ , ou variable comme dans $x^{y}$ ; ainsi on peut encore à cet égard distinguer les quantités exponentielles en différentes especes.

La théorie des quantités exponentielles est expliquée avec beaucoup de clarté dans un mémoire qu’on trouvera au tome I. du recueil des œuvres de M. J. Bernoulli, Lausanne 1743. Le calcul des quantités exponentielles, de leurs différentielles, &c. se nomme calcul exponentiel. On peut aussi voir les regles de ce calcul expliquées dans la premiere partie du traité du calcul intégral de M. de Bougainville. Au reste, c’est à M. Jean Bernoulli que la Géométrie doit la théorie du calcul exponentiel, branche du calcul intégral devenue depuis si féconde.

Outre les quantités exponentielles dont les exposans sont réels, il y en a aussi dont les exposans sont imaginaires ; & ces quantités sont sur tout fort utiles dans la théorie des sinus & des cosinus des angles. Voyez Sinus.

La méthode générale pour trouver aisément les différentielles des quantités exponentielles, c’est de supposer ces exponentielles égales à une nouvelle in- connue, de prendre ensuite les logarithmes de part & d’autre, de différentier, & de substituer ; ainsi faisant $y^{x} = z$ , on aura $x \log y = \log z$ ; donc $d x t i m e s \log y + \frac{x d y}{y} = \frac{d z}{z}$ . Voy. Logarithme. Donc dz ou $d (y^{x}) = z d x \log y + \frac{z x d y}{y} = y^{x} d x \log y + \frac{x y^{x} d y}{y}$ . Donc si on a à différentier $a^{x}$ ; comme a est alors égal à y, & que $d y = 0$ , on aura pour différentielle $a^{x} d x \times \log a$ ; & ainsi des autres.

Courbe exponentielle, est celle qui est exprimée par une équation exponentielle. Voyez Courbe.

Les courbes exponentielles participent de la nature des algébriques & des transcendantes ; des premieres, parce qu’il n’entre dans leur équation que des quantités finies ; & des dernieres, parce qu’elles ne peuvent pas être représentées par une équation algébrique. Car dans les courbes à équations algébriques, les exposans sont toûjours des nombres déterminés & constans, au lieu que dans les équations des courbes exponentielles les exposans sont variables. Par exemple, $a y = x^{2}$ est l’équation d’une courbe algébrique ; $y = a^{x}$ est l’équation d’une courbe exponentielle ; cette équation $y = a^{x}$ signifie qu’une ordonnée quelconque y, est à une ordonnée constante que l’on prend pour l’unité, comme une constante a élevée à un exposant indiqué par le rapport de l’abscisse x à la ligne que l’on prend pour l’unité, est à la ligne prise pour l’unité, élevée à ce même exposant. C’est pourquoi si on prend b pour cette ligne qui représente l’unité, l’équation $y = a^{x}$ réduite à une expression & à une traduction claire, revient à celle-ci $\frac{y}{b} = \frac{a^{\frac{x}{b}}}{b^{\frac{x}{b}}}$ ; l’équation $y = a^{x}$ est celle de la logarithmique. Voyez Logarithmique. De même $y = x^{y}$ signifie $\frac{y}{b} = \frac{x^{\frac{y}{b}}}{b^{\frac{y}{b}}}$ ; & ainsi des autres.

Equation exponentielle, est celle dans laquelle il y a des quantités exponentielles, &c. Ainsi $y = z^{x}$ est une équation exponentielle.

On résoud les équations exponentielles par logarithmes, lorsque cela est possible. Par exemple, si on avoit $a^{x} = b$ , x étant l’inconnue, on auroit $x \log a = \log b$ & $x = \frac{\log b}{\log a}$ ; de même si on avoit $a c^{x + 2} + b c^{x + 1} + g c^{x} = k$ , on en tireroit l’équation $c^{x} (a c^{2} + b c + g) = k$ , & $x \log c + \log (a c^{2} + b c + g) = \log k$ ; d’où l’on tirera x. Mais il y a une infinité de cas où on ne pourra trouver x que par tâtonnement, par exemple, si on avoit $a^{x} + b^{2 x} = c$ , &c. Voyez Logarithme.

C’est par les équations exponentielles qu’on pratique dans le calcul intégral l’opération qui consiste à repasser des logarithmes aux nombres. Soit, par exemple, cette équation logarithmique $x = \log y$ , supposant que c soit le nombre qui a pour logarithme 1, on aura $1 = \log c$ & $x \log c = x = \log y$ . Donc (V. Logarithme) $\log c^{x} = \log y$ , & $c^{x} = y$ .