FOLIUM de Descartes, ou simplement FOLIUM

FOLIUM de Descartes, ou simplement FOLIUM, s. m. (Géométrie.) nom latin, & qui signifie feuille. On appelle ainsi une courbe du second genre ou ligne du troisieme ordre KAODR, représentée fig. 45. Analys. & dont la partie AOD ressemble à-peu-près à une feuille, ce qui lui a fait donner le nom de folium.

Soient les coordonnées AB, x, BC ou BD, y, l’équation de cette courbe sera $x^{3} + y^{3} = a x y$ ; les axes AB, AF, touchant la courbe en A. Pour donner à cette équation une forme plus commode, qui fasse découvrir aisément la figure de la courbe, je divise en deux également l’angle FAB par la ligne AO, & j’imagine les nouvelles coordonnées rectangles AP, z & PC, u, j’aurai, comme il est très aisé de le prouver, $x = \frac{z + u}{\sqrt{2}}$ , & $y = \frac{z - u}{\sqrt{2}}$ (voyez Transformation des Axes) ; & faisant la substitution, il vient $u^{2} = (a z z - \frac{2 z^{2}}{\sqrt{2}}) : (a + \frac{6 z}{\sqrt{2}})$ pour l’équation de la courbe rapportée aux axes AO, GAM perpendiculaires l’un à l’autre. D’où l’on voit, 1°. que si z est infiniment petite, on a $u = \pm z$ & qu’ainsi la courbe coupe de part & d’autre l’axe AO sous un angle de 45d. 2°. que u a toûjours deux valeurs égales, & qu’ainsi les deux parties de la courbe sont égales & semblables des deux côtés de l’axe AO : 3°. que si $a = \frac{2 z}{\sqrt{2}}$ , on a $u = 0$ ; & que si $a < \frac{2 z}{\sqrt{2}}$ , on a u imaginaire ; qu’ainsi faisant $2 A O = a \sqrt{2}$ , la courbe ne va pas au-delà du point O, du côté des z positives : 4°. que si $z = - \frac{a \sqrt{2}}{6}$ , u est infinie ; & que si z est $< - \frac{a \sqrt{2}}{6}$ , u est imaginaire. Donc prenant $A N = \frac{a \sqrt{2}}{6} = \frac{A O}{3}$ , & menant KNR perpendiculaire à AN, cette ligne KNR sera asymptote de la courbe. Voyez Asymptote.

Cette courbe est aussi quarrable. Pour le prouver de la maniere la plus simple, je reprends l’équation $x^{3} + y^{3} = a x y$ , & je fais $y = x z$ , j’aurai ydx élément de l’aire de la courbe = xzdx, dont l’intégrale est $\frac{x x z}{2} - \int \frac{x x d z}{2}$ . Or y=xz donne $x = \frac{a z}{z + z^{2}}$ & $x x d z = \frac{a a z z d z}{(1 + z^{3}) 2}$ , dont l’intégrale est aisée à trouver. Car soit $1 + z^{3} = u^{3}$ , on aura $z z d z = u u d u$ ; & $\frac{a a z z d z}{(1 + z^{3})^{2}} = \frac{a a d u}{u^{4}}$ , dont l’intégrale est fort simple. Voy. Integral & Transformation. Donc, &c.

M. de l’Hopital, analyse des infiniment petits, sect. 2. donne une méthode de trouver les asymptotes de cette courbe par les tangentes. Voyez Tangente, &c.